Số nghiệm của phương trình

- Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l}\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{x+3}=0\iff \left(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}\right)=-\sqrt[3]{x+3}\\ \iff {\left(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}\right)}^3={\left(-\sqrt[3]{x+3}\right)}^3\\ \iff x+1+x+2+3\sqrt[3]{(x+1)(x+2)}\left[\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}\right]=-x-3\end{array}$

$\iff 3\sqrt[3]{(x+1)(x+2)}.(-\sqrt[3]{x+3}-3x-6$

$\iff \sqrt[3]{(x+1)(x+2)(x+3)}=x+2$

$\iff (x+1)(x+2)(x+3)={(x+2)}^3$

$\iff (x+2)(x^2+4x+3-x^2-4x-4)=0$

$\iff x+2=0\iff x=-2$

Thay $x=-2$ lại phương trình ta thấy thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=-2$

Đáp án cần chọn là: D