Một cái nắp của bình chứa rượu gồm một phần...

C

- Hướng dẫn giải

Đáp án C

Thể tích của khối nón là $V_n=\frac{1}{3}\pi r^2{h}_1$ và độ dài đường sinh là $l=\sqrt{r^2+h^2}$

Thể tích của khối trụ là $V_t=\pi r^2{h}_2=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

Vậy thể tích cái nắp là $V=V_n+V_t=\frac{2}{3}\pi r^{2}h$

Mặt khác l =1,25

$\Rightarrow r^2+h^2=\frac{25}{4}\iff r^2=\frac{25}{4}-h^2$

khi đó:

$V=\frac{2}{3}\pi h\left(\frac{25}{4}-h^2\right)\le \frac{2\pi }{3}.\frac{125}{12\sqrt{3}}$

Ta có:

$$\begin{gathered} V^2=\frac{4}{9}{\pi }^2{h}^2{\left(\frac{25}{4}-h^2\right)}^2\le \frac{2}{9}{\pi }^2.\left(\frac{25}{4}-h^2\right).\left(\frac{25}{4}-h^2\right) \\ \frac{2}{9}{\pi }^2.\left(\frac{25}{4}-h^2\right).\left(\frac{25}{4}-h^2\right)\le \frac{2{\pi }^2}{9}.{\left(\frac{\frac{25}{4}+\frac{25}{4}}{3}\right)}^3 \end{gathered}$$

Dấu bằng xảy ra khi:

$2h^2=\frac{25}{4}-h^2\iff h^2=\frac{25}{12}\Rightarrow h=\frac{5}{2\sqrt{3}}$

Dấu “=” xảy ra khi:

$$\begin{gathered} 2h^2=\frac{25}{4}-h^2 \\ \iff h^2=\frac{25}{12}\Rightarrow h=\frac{5}{2\sqrt{3}} \\ \Rightarrow r=\sqrt{\frac{25}{4}-h^2}=\frac{5\sqrt{6}}{6} \\ \Rightarrow r+h\simeq 348cm \end{gathered}$$