Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} +...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi \({x_1},{x_2},{x_3}\) là các nghiệm của phương trình f(x) = 0.

Vì \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) nên ta có \({f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = 6\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = 2f\left( x \right).f''\left( x \right) - {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2}\), ta có

\(g'\left( x \right) = 2f'\left( x \right).f''\left( x \right) + 2f\left( x \right).{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) - 2f'\left( x \right).f''\left( x \right) = 12f\left( x \right)\)

Bảng biến thiên của g(x):

Ta có \(g\left( {{x_2}} \right) = 2f\left( {{x_2}} \right).f''\left( {{x_2}} \right) - {\left[ {f'\left( {{x_2}} \right)} \right]^2} =  - {\left[ {f'\left( {{x_2}} \right)} \right]^2} < 0\) (vì phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt nên \(f'\left( {{x_2}} \right) \ne 0\))

Do đó căn cứ bảng biến thiên ta thấy phương trình g(x) = 0 có nhiều nhất 2 nghiệm

Dấu “=” xảy ra: Dễ dàng chỉ ra 1 hàm số f(x) thỏa mãn, ví dụ f(x) = x³ – x

Vậy phương trình đã cho có nhiều nhất 2 nghiệm.

 Chọn C.