Trong dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) cho dưới...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tính giới hạn ở từng đáp án.

Giải chi tiết:

Đáp án A: Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_2} = \frac{{2019}}{2} = \frac{{2018 + {2^0}}}{{{2^1}}}\\{u_3} = \frac{{2021}}{4} = \frac{{2018 + {2^0} + {2^1}}}{{{2^2}}}\\....\\{u_{n + 1}} = \frac{{2018 + {2^0} + {2^1} + ... + {2^{n - 1}}}}{{{2^n}}} = \frac{{2018 + \frac{{1\left( {1 - {2^n}} \right)}}{{1 - 2}}}}{{{2^n}}} = \frac{{{2^n} + 2017}}{{{2^n}}}\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Ta chứng minh (*) đúng với mọi \(n\ge 0\)

Đương nhiên (*) đúng khi n = 0, vì \({{u}_{1}}=\frac{{{2}^{0}}+2017}{{{2}^{0}}}=2018\)

Giả sử (*) đúng đến n = k, tức là \({{u}_{k+1}}=\frac{{{2}^{k}}+2017}{{{2}^{k}}}\) , ta chứng minh đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh \({{u}_{k+2}}=\frac{{{2}^{k+1}}+2017}{{{2}^{k+1}}}\)

Theo giả thiết ta có: \({{u}_{n+1}}=\frac{1}{2}\left( {{u}_{n}}+1 \right)=\frac{1}{2}\left( \frac{{{2}^{k}}+2017}{{{2}^{k}}}+1 \right)=\frac{{{2}^{k}}+2017+{{2}^{k}}}{{{2}^{k+1}}}=\frac{{{2.2}^{k}}+2017}{{{2}^{k+1}}}=\frac{{{2}^{k+1}}+2017}{{{2}^{k+1}}}\)

Vậy  \({{u}_{n}}=\frac{{{2}^{n-1}}+2017}{{{2}^{n-1}}}\,\,\forall n\ge 1\)

\(\Rightarrow \lim {{u}_{n}}=\lim \frac{{{2}^{n-1}}+2017}{{{2}^{n-1}}}=\lim \frac{1+\frac{2017}{{{2}^{n-1}}}}{1}=1\Rightarrow \) A sai.

Dùng MTCT thử đáp án B ta có:    \(\Rightarrow \lim {{u}_{n}}=\lim n\left( \sqrt{{{n}^{2}}+2020}-\sqrt{4{{n}^{2}}+2017} \right)=-\infty \Rightarrow \) B đúng.

Đáp án C:

\(\begin{align} {{u}_{n}}=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{\left( 2n+1 \right)\left( 2n+3 \right)}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3} \right)=\frac{1}{2}\left( 1-\frac{1}{2n+3} \right) \\  \Rightarrow \lim {{u}_{n}}=\lim \left[ \frac{1}{2}\left( 1-\frac{1}{2n+3} \right) \right]=\frac{1}{2}\left( 1-0 \right)=\frac{1}{2} \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow C\) đúng.

Đáp án D: \(\lim {u_n} = \lim \frac{{n{{\left( {n - 2018} \right)}^{2017}}}}{{{{\left( {n - 2017} \right)}^{2018}}}} = \lim \frac{{\frac{n}{n}.\frac{{{{\left( {n - 2018} \right)}^{2017}}}}{{{n^{2017}}}}}}{{\frac{{{{\left( {n - 2017} \right)}^{2018}}}}{{{n^{2018}}}}}} = \lim \frac{{1.{{\left( {1 - \frac{{2018}}{n}} \right)}^{2017}}}}{{{{\left( {1 - \frac{{2017}}{n}} \right)}^{2018}}}} = \frac{{{{\left( {1 - 0} \right)}^{2017}}}}{{{{\left( {1 - 0} \right)}^{2018}}}} = 1\)

\(\Rightarrow D\) sai.

Không có đáp án.