Cho 

- Hướng dẫn giải

$A=1+3+3^2+3^3+...+3^{30}$

$3A=3+3^2+3^3+...+3^{30}+3^{31}$

2A = 3A – A = $(3+3^2+3^3+...+3^{30}+3^{31})$ – $(1+3+3^2+3^3+...+3^{30})$

2A = $3^{31}-1$

A = $\frac{3^{31}-1}{2}$

Ta có $3^1=3;3^3=9;3^3=27;3^4=81;3^5=243$

với $n\ge 0$ thì $3^{4n+3}$có chữ số tận cùng là 7.Vì  31 = 4.7 + 3 nên $3^{31}$ có chữ số tận cùng là 7. Do đó $\frac{3^{31}-1}{2}$ có chữ số tận cùng là 3. Mà không có số nào bình phương lên có chữ số tận cùng là 3 nên A không là số chính phương.

Tìm chữ số tận cùng của A, từ đó suy ra A không phải số chính phương