Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ t...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị. Xác định các điểm cực trị \(A,\,\,B,\,\,C\) của hàm số.

+) Chứng minh \(\Delta ABC\) cân. Giả sử cân tại A \( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC\) với \(H\) là trung điểm của \(BC\).

Giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\). Ta có \(y' = 4{x^3} - 16{m^2}x = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - 4{m^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 4{m^2}\end{array} \right.\)

Để hàm số có 3 điểm cực trị \( \Rightarrow \) phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m \ne 0\).

Khi đó ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 1\\x = 2m \Rightarrow y =  - 16{m^4} + 1\\x =  - 2m \Rightarrow y =  - 16{m^4} + 1\end{array} \right.\)

Hàm số có 3 điểm cực trị \(A\left( {0;1} \right);\,\,B\left( {2m; - 16{m^4} + 1} \right);\,\,C\left( { - 2m; - 16{m^4} + 1} \right)\)

Dễ thấy \(\Delta ABC\) cân tại \(A\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow H\left( {0; - 16{m^4} + 1} \right)\). Ta có \(AH \bot BC\).

\(AH = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 16{m^4} + 1 - 1} \right)}^2}}  = 16{m^4};\,\,BC = \sqrt {{{\left( {4m} \right)}^2}}  = 4\left| m \right|\)

Ta có \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.16{m^4}.4\left| m \right| = 64 \Leftrightarrow \left| {{m^5}} \right| = 2 \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt[5]{2}\).

Chọn C.