Cho tam giác ABC có AB = AC, E là trung điểm BC, t...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh 2 tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.

b) Chứng minh cặp góc so le trong bằng nhau (là cặp góc tương ứng của cặp tam giác bằng nhau chứng minh ở câu a)

c) Áp dụng kiến thức đã học về tam giác cân để tìm ra mối liên hệ cần thiết chứng minh yêu cầu của đề bài.

d) Áp dụng tính chất bắc cầu và các kết quả chứng minh trên để tìm ra điều kiện của \(\Delta ABC\) cho \(\angle A{\rm{D}}C = {45^0}\).

Giải chi tiết:

a) Xét tam giác ABE và tam giác DCE có:

            BE = EC (E là trung điểm của BC)

            AE = ED (Theo giả thiết)

            \(\angle BE{\rm{A}} = \angle CE{\rm{D}}\) (2 góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \Delta ABE = \Delta DCE\;\;(c - g - c)\) (đpcm)

b) Vì \(\Delta ABE = \Delta DCE\) nên \(\angle EBA = \angle EC{\rm{D}}\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\angle EBA\) và \(\angle EC{\rm{D}}\) lại là cặp góc ở vị trí so le trong.

\( \Rightarrow AB\parallel C{\rm{D}}\) (đpcm)

c) Xét tam giác ABC có: AB = AC

Suy ra tam giác ABC là tam giác cân tại A.

Lại có E là trung điểm của BC

\( \Rightarrow AE\) là đường trung tuyến của tam giác ABC cân tại A.

\( \Rightarrow AE\)  cũng là đường cao của tam giác ABC cân tại A.

\( \Rightarrow A{\rm{E}} \bot BC\) (đpcm)

d) Vì \(\Delta ABE = \Delta DCE\) nên \(\angle E{\rm{D}}C = \angle E{\rm{A}}B\) (cặp góc tương ứng)  

\( \Rightarrow \angle A{\rm{D}}C = \angle E{\rm{AB}}\)  (1)\(\)

Mà AE là đường phân giác của tam giác ABC cân tại A. \(\)

\( \Rightarrow \angle E{\rm{A}}B = \angle E{\rm{A}}C\)  (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\angle A{\rm{D}}C = \angle E{\rm{AB  =  }}\angle {\rm{EA}}C\)

Để \(\angle A{\rm{D}}C\) = 45⁰ thì \(\angle E{\rm{AB }}\) và \(\angle {\rm{EA}}C\) phải bằng 45⁰.

Khi đó: \(\angle BAC = \angle BA{\rm{E  +  }}\angle {\rm{EA}}C = {45^0} + {45^0} = {90^0}\)

Vậy để \(\angle A{\rm{D}}C\) = 45⁰  thì \(\angle BAC\)= 90⁰.

Suy ra để \(\angle A{\rm{D}}C\) = 45⁰ thì tam giác ABC phải vuông cân tại A.