Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Mặt phẳng (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) có phương trình theo đoạn chắn là: \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1,\,\,\left( {a,b,c \ne 0} \right)\).

Giải chi tiết:

Mặt phẳng (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) có phương trình theo đoạn chắn là: \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1,\,\,\left( {a,b,c \ne 0} \right)\)

\(M\left( {3;2;1} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow \dfrac{3}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{1}{c} = 1\) (1)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AM}  = \left( {3 - a;2;1} \right),\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( {0; - b;c} \right)\\\overrightarrow {BM}  = \left( {3;2 - b;1} \right),\,\,\overrightarrow {AC} \left( { - a;0;c} \right)\end{array}\)

\(M\) là trực tâm tam giác ABC \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {3 - a} \right).0 + 2.\left( { - b} \right) + 1.c = 0\\3.\left( { - a} \right) + \left( {2 - b} \right).0 + 1.c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2b + c = 0\\ - 3a + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{1}{2}c\\a = \dfrac{1}{3}c\end{array} \right.\)

Thay vào (1), ta có: \(\dfrac{3}{{\dfrac{1}{3}c}} + \dfrac{2}{{\dfrac{1}{2}c}} + \dfrac{1}{c} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{14}}{c} = 1 \Leftrightarrow c = 14 \Rightarrow a = \dfrac{{14}}{3},\,b = 7\)

\( \Rightarrow \left( P \right):\dfrac{x}{{\dfrac{{14}}{3}}} + \dfrac{y}{7} + \dfrac{z}{{14}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{3x}}{{14}} + \dfrac{y}{7} + \dfrac{z}{{14}} = 1 \Leftrightarrow 3x + 2y + z - 14 = 0\)

Chọn: C