Cho các số phức \({{z}_{1}};{{z}_{2}}\) thỏa mãn...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\(\left| z \right|=\frac{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}=\frac{\left| \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON} \right|}{\left| \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON} \right|}=\frac{2\left| \overrightarrow{OI} \right|}{\left| \overrightarrow{MN} \right|}=\frac{2OI}{MN}\)(với I là trung điểm của MN).

Sử dụng các công thức của định lí cosin trong tam giác và công thức tính độ dài đường trung tuyến.

Giải chi tiết:

Ta có \(OM=3;\,\,ON=4\) ; \(\widehat{\left( \overrightarrow{OM};\overrightarrow{ON} \right)}={{60}^{0}}\Rightarrow \widehat{\left( OM;ON \right)}={{60}^{0}}\)

\(\left| z \right|=\frac{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}=\frac{\left| \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON} \right|}{\left| \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON} \right|}=\frac{2\left| \overrightarrow{OI} \right|}{\left| \overrightarrow{MN} \right|}=\frac{2OI}{MN}\) (với I là trung điểm của MN).

Áp dụng định lí cosin trong tam giác OMN có \(MN=\sqrt{O{{M}^{2}}+O{{N}^{2}}-2OM.ON.\cos \left( OM;ON \right)}=\sqrt{13}\)

OI là đường trung tuyến của tam giác OMN \(\Rightarrow OI=\sqrt{\frac{O{{M}^{2}}+O{{N}^{2}}}{2}-\frac{M{{N}^{2}}}{4}}=\frac{\sqrt{37}}{2}\)

Vậy \(\left| z \right|=\frac{2.\frac{\sqrt{37}}{2}}{\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{481}}{13}\)

Chọn C.