Cho hàm số \(y = \frac{{x - {m^2}}}{{x + 1}}\) (vớ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.

Giải chi tiết:

TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\). Ta có \(y' = \frac{{1 + {m^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \ne  - 1 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right);\,\,\left( { - 1; + \infty } \right)\).

\(y = 0 \Rightarrow x = {m^2} \Rightarrow \left( C \right)\) cắt trục hoành tại điểm \(A\left( {{m^2};0} \right)\).

\(x = 0 \Rightarrow y =  - {m^2} \Rightarrow \left( C \right)\) cắt trục tung tại điểm \(B\left( {0; - {m^2}} \right)\).

Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) và hai trục tọa độ là:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_0^{{m^2}} {\left| {\frac{{x - {m^2}}}{{x + 1}}dx} \right|}  =  - \int\limits_0^{{m^2}} {\frac{{x - {m^2}}}{{x + 1}}dx}  =  - \left[ {\int\limits_0^{{m^2}} {dx}  - \int\limits_0^{{m^2}} {\frac{{1 + {m^2}}}{{x + 1}}} dx} \right] = \left( {1 + {m^2}} \right)\ln \left( {{m^2} + 1} \right) - {m^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 1} \right)\ln \left( {{m^2} + 1} \right) - {m^2} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 1} \right)\left[ {\ln \left( {{m^2} + 1} \right) - 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \ln \left( {{m^2} + 1} \right) = 1 \Leftrightarrow {m^2} + 1 = e \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt {e - 1} \end{array}\)

Chọn A.