Trong không gian với hệ tọa độ \...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \({{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}\left| \overrightarrow{OA}.\left[ \overrightarrow{OB},\ \overrightarrow{OC} \right] \right|.\)

Giải chi tiết:

Cách 1: Ta có\(A,\ B,\ C\) lần lượt thuộc các trục tọa độ \(Ox,\ Oy,\ Oz\Rightarrow A\left( {{x}_{A}};\ 0;\ 0 \right),\ \ B\left( 0;\ {{y}_{B}};\ 0 \right),\ \ C\left( 0;\ 0;\ {{z}_{C}} \right)\)

Lại có \(A,\ B,\ C\in \left( \alpha  \right)\Rightarrow A\left( 2;\ 0;\ 0 \right),\ \ B\left( 0;-4;\ 0 \right),\ C\left( 0;\ 0;\ -\frac{4}{3} \right).\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \overrightarrow {OA} = \left( {2;\;0;\;0} \right),\;\;\overrightarrow {OB} = \left( {0; - 4;\;0} \right),\;\;\overrightarrow {OC} = \left( {0;\;0; - \frac{4}{3}} \right).\\
\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OB} ,\;\overrightarrow {OC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 4}&0\\
0&{ - \frac{4}{3}}
\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&0\\
{ - \frac{4}{3}}&0
\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&{ - 4}\\
0&0
\end{array}} \right|} \right) = \left( {\frac{{16}}{3};\;0;\;0} \right).\\
\Rightarrow \overrightarrow {OA} .\left[ {\overrightarrow {OB} ,\;\overrightarrow {OC} } \right] = 2.\frac{{16}}{3} = \frac{{32}}{3}.\\
\Rightarrow {V_{OABC}} = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {OA} .\left[ {\overrightarrow {OB} ,\;\overrightarrow {OC} } \right]} \right| = \frac{1}{6}.\frac{{32}}{3} = \frac{{16}}{9}.
\end{array}\)

Cách 2: Theo đề bài ta thấy được mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) chính là mặt phẳng \(\left( ABC \right).\)

Tứ diện \(OABC\) là tứ diện có \(OA,\ OB,\ OC\) đôi một vuông góc với nhau.

Khi đó ta có công thức tính nhanh thể tích tứ diện \(OABC:\ \ {{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}.OA.OB.OC.\)  

Chọn D.