Giải phương trình \(\sqrt {{x^2} + 4x + 12}  = 2x...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Chuyển vế \(\sqrt {x + 1} \). Bình phương cả 2 vế.

+) Đặt ẩn phụ.

+) Quy về bài toán hệ phương trình.

Giải chi tiết:

\(\sqrt {{x^2} + 4x + 12}  = 2x - 4 + \sqrt {x + 1} \) (1)

Điều kiện: \(x \ge  - 1\). Có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 4x + 12}  - \sqrt {x + 1}  = 2x - 4\,\,\,\left( 2 \right)\)

Xét\(\left( {{x^2} + 4x + 12} \right) - \left( {x + 1} \right) = {x^2} + 3x + 11 = {\left( {x + \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{{35}}{4} > 0 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 4x + 12}  > \sqrt {x + 1} \)

Do đó từ (2) \( \Rightarrow 2x - 4 > 0 \Leftrightarrow x > 2\). Khi đó ta có:

\((2) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\,\,\,\left( * \right)\\\left( {{x^2} + 4x + 12} \right) - 2\sqrt {{x^2} + 4x + 12} .\sqrt {x + 1}  + \left( {x + 1} \right) = 4\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Đặt \(\sqrt {{x^2} + 4x + 12}  = a;\,\,\sqrt {x + 1}  = b\,\,\,\,\left( {a,\,\,b > 0} \right) \Rightarrow {a^2} - 8{b^2} = {x^2} - 4x + 4\). Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}(3) \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} = 4\left( {{a^2} - 8{b^2}} \right) \Leftrightarrow 3{a^2} + 2ab - 33{b^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - 3b} \right)\left( {3a + 11b} \right) = 0 \Leftrightarrow a = 3b\,\,\,\left( {Do\,\,a,\,\,b > 0 \Rightarrow 3a + 11b > 0} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 4x + 12}  = 3\sqrt {x + 1}  \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 12 = 9x + 9\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{5 - \sqrt {13} }}{2}\,\,\,\left( {ktm\,\,\left( * \right)} \right)\\x = \dfrac{{5 + \sqrt {13} }}{2}\,\,\,\,\left( {tm\,\,\left( * \right)} \right)\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ {\dfrac{{5 + \sqrt {13} }}{2}} \right\}\).