Cho tam giác ABC có \(AB = 7cm,BC = 4cm,A...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Ta có BE  là phân giác của tam giác ABC \( \Rightarrow \frac{{AE}}{{CE}} = \frac{{AB}}{{BC}}\) kết hợp \(AE + CE = AC\) để tính AE , CE.

b) Chứng minh \(\Delta BFC \sim \Delta BHA\) (g-g) từ đó suy ra đpcm.

c) Sử dụng định lý Ta-let.

Giải chi tiết:

a) Tính độ dài cạnh AE và CE.

Ta có BE  là phân giác của  \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow \frac{{AE}}{{CE}} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{7}{4} \Rightarrow AE = \frac{7}{4}CE.\)

Mặt khác \(AE + CE = AC = 6 \Rightarrow \frac{7}{4}CE + CE = 6\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{11}}{4}CE = 6 \Leftrightarrow CE = \frac{{24}}{{11}}\;\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow AE = \frac{7}{4}.\frac{{24}}{{11}} = \frac{{42}}{{11}}\left( {cm} \right).\end{array}\)

b) Kẻ \(CF \bot BE\left( {F \in BE} \right)\) và AH vuông góc với đường thẳng BE \(\left( {H \in BE} \right)\). Chứng minh: \(AB.BF = BC.BH\)

Xét \(\Delta BFC\) và \(\Delta BHA\) có:

 \(\angle BFC = \angle BHA = {90^o}\;\left( {gt} \right)\)

\(\angle CBF = \angle ABH\) (BE là phân giác \(\angle B\))

\( \Rightarrow \Delta BFC \sim \Delta BHA\;\;\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{BF}}{{BH}} = \frac{{BC}}{{AB}} \Rightarrow AB.BF = BC.BH\;\;\left( {dpcm} \right).\)

c) CF cắt đường trung tuyến BD của tam giác ABC tại G. Chứng minh DF đi qua trung điểm của EG

Gọi CF cắt AB tại K.

Ta có BF  là phân giác \(\angle B\) mà \(BF \bot CK\;\left( {gt} \right) \Rightarrow \Delta BCK\) cân tại B (dhnb)

\( \Rightarrow BC = BK < AB\,\,(4 < 7)\,\, \Rightarrow \) K nằm giữa A và B; F nằm giữa B và E.

Xét \(\Delta CKA\) ta có:

D là trung điểm của AC (gt)

F là trung điểm của CK (\(\Delta BCK\) cân tại B)

\( \Rightarrow FD\) là đường trung tuyến của \(\Delta CKA\) (định nghĩa)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}DF//AK//AB\,\,\,\\AK = 2DF\end{array} \right.\left( {tc} \right)\)   \( \Rightarrow DF//BK\) mà \(BD \cap FK = \left\{ G \right\}\)

\( \Rightarrow \frac{{BK}}{{DF}} = \frac{{BG}}{{DG}}\;\;\) (định lý Ta-let).

 Vì BE là phân giác của tam giác ABC \( \Rightarrow \frac{{AE}}{{CE}} = \frac{{AB}}{{BC}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{AD + ED}}{{CE}} = \frac{{AK + BK}}{{BC}} \Leftrightarrow \frac{{CD + ED}}{{CE}} = \frac{{AK + BK}}{{BK}} \Leftrightarrow \frac{{CE + 2ED}}{{CE}} = \frac{{2DF + BK}}{{BK}}\\ \Leftrightarrow 1 + \frac{{2ED}}{{CE}} = \frac{{2DF}}{{BK}} + 1 \Leftrightarrow \frac{{2ED}}{{CE}} = \frac{{2DF}}{{BK}} \Leftrightarrow \frac{{CE}}{{ED}} = \frac{{BK}}{{DF}}.\end{array}\) 

Mà \(\frac{{BK}}{{DF}} = \frac{{BG}}{{DG}}\;\;\left( {cmt} \right) \Rightarrow \frac{{CE}}{{ED}} = \frac{{BG}}{{DG}} \Rightarrow GE//BC.\) (định lý Ta-let đảo)

Vì \(DF//AB\) (cmt) mà D là trung điểm của AC (gt) \( \Rightarrow \) DF phải đi qua trung điểm \(I\)  của BC.

Gọi \(J\) là giao điểm của \(EG,\;\;FD.\)

Khi đó theo định lý Ta-let ta có: \(\frac{{DE}}{{DC}} = \frac{{EJ}}{{CI}} = \frac{{GJ}}{{BI}} = \frac{{DG}}{{DB}}.\)

Mà \(BI = CI \Rightarrow EJ = JG\)  hay \(FD\) đi qua trung điểm của \(EG.\;\;\left( {dpcm} \right)\)