Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(AB=AC=BB'=a...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng:

- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.

- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.

Giải chi tiết:

Gọi E là giao điểm của \(B'I\) và BC.

\(H\in BC\) sao cho \(EA\bot AH\) tại A

\(K\in B'I\) sao cho \(KH\bot CB\) tại H

Có \(KH\bot CB\Rightarrow KH\parallel CC'.\)

\(\Rightarrow KH\bot \left( ABC \right)\) tại H

\(\Rightarrow KH\bot EA\) mà \(EA\bot AH\)

\(\Rightarrow EA\bot \left( AKH \right)\)

\(\Rightarrow EA\bot AK\)

 Hai mặt phẳng \(\left( AIB' \right)\) và \(\left( ACB \right)\) có giao tuyến là EA

Mà \(AK\subset \left( AIB' \right);AH\subset \left( ACB \right);EA\bot AK;EA\bot AH\Rightarrow \) góc hợp bởi hai mặt phẳng \(\left( AIB' \right)\) và \(\left( ACB \right)\) là \(\widehat{KAH}.\)

Ta có: \(BC=2a\cos {{30}^{\circ }}=a\sqrt{3}\)

\(A{{E}^{2}}=E{{C}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AC.EC.\cos \widehat{ACE}\) \(=3{{a}^{2}}+{{a}^{2}}-2a.a\sqrt{3}.cos{{150}^{\circ }}=7{{a}^{2}}\)\(\Rightarrow AE=a\sqrt{7}\)

Ta cos: \(\cos \widehat{AEC}=\frac{A{{E}^{2}}+E{{C}^{2}}A{{C}^{2}}}{2.AE.EC}=\frac{7{{a}^{2}}3{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}{2a\sqrt{7}.a\sqrt{3}}=\frac{9}{2\sqrt{21}}.\)

\(\Rightarrow \tan \widehat{AEC}=\sqrt{\frac{1}{{{\cos }^{2}}\widehat{AEC}}-1}=\frac{\sqrt{3}}{9}.\) \(\Rightarrow AH=AE.\tan \widehat{AEC}=\frac{a\sqrt{21}}{9}\)

Ta  có: \(\frac{EH}{EB}=\frac{HK}{BB'}\) \(\Rightarrow HK=\frac{EH.BB'}{EB}=\frac{AE.BB'}{2BC.\cos \widehat{AEC}}=\frac{a\sqrt{7}.a.2\sqrt{21}}{2a\sqrt{3}.9}=\frac{7a}{9}.\)

\(\Rightarrow \cos\widehat{KAH}=\frac{AH}{AK}=\frac{AH}{\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{K}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{21}}{9\sqrt{\frac{21{{a}^{2}}}{81}+\frac{49{{a}^{2}}}{81}}}=\frac{\sqrt{30}}{10}.\)

Đáp án C.