Cho tứ diện \(ABCD\) có thể tích \(V.\) Gọi \({A_1...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Bước 1. Tìm công thức truy hồi cho \({V_n}\) theo \(V.\) Cụ thể ta đi chứng minh \({V_n} = {\left( {\dfrac{1}{{27}}} \right)^n}V.\)

Bước 2. Sử dụng công thức tổng của cấp số nhân để tính tổng \({A_n}: = V + {V_1} + {V_2} + ... + {V_n}.\)

Bước 3. Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {A_n}.\)

Giải chi tiết:

Bước 1. Gọi \({A_1}',\,{B_1}',\,{C_1}'\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,CA,\,AB.\) Ta có \({A_1}{C_1} = \dfrac{2}{3}{A_1}'{C_1}' = \dfrac{2}{3}.\left( {\dfrac{1}{2}AC} \right) = \dfrac{1}{3}AC.\)

Ta có \(\dfrac{{d\left( {{B_1},{A_1}{C_1}} \right)}}{{d\left( {{B_1}',{A_1}'{C_1}'} \right)}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow d\left( {{B_1},{A_1}{C_1}} \right) = \dfrac{2}{3}d\left( {{B_1}',{A_1}'{C_1}'} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{S_{{A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{S_{{A_1}'{B_1}'{C_1}'}}}} = \dfrac{{d\left( {{A_1};{B_1}{C_1}} \right).{B_1}{C_1}}}{{d\left( {{A_1}';{B_1}'{C_1}'} \right).{B_1}{C_1}}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9} \Rightarrow {S_{{A_1}{B_1}{C_1}}} = \dfrac{4}{9}{S_{{A_1}'{B_1}'{C_1}'}}\)

Mà \({S_{{A_1}'{B_1}'{C_1}'}} = \dfrac{1}{4}{S_{ABC}} \Rightarrow {S_{{A_1}{B_1}{C_1}}} = \dfrac{1}{9}{S_{ABC}}\)   

Ta lại có \(d\left( {{D_1},{A_1}{B_1}{C_1}} \right) = \dfrac{1}{3}d\left( {D,ABC} \right)\) do đó \(\dfrac{{{V_1}}}{V} = \dfrac{{{V_{{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}d\left( {{D_1},{A_1}{B_1}{C_1}} \right){S_{{A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{\dfrac{1}{3}d\left( {D,ABC} \right){S_{ABC}}}} = \dfrac{1}{{27}}.\)

Hay \({V_1} = \dfrac{V}{{27}}.\)

Chứng minh tương tự ta có \({V_n} = \dfrac{1}{{27}}{V_{n - 1}},\,\,\forall n \ge 2.\) Hay ta có \({V_n} = {\left( {\dfrac{1}{{27}}} \right)^n}V.\)

Bước 2. Ta có \({A_n}: = V + {V_1} + {V_2} + ... + {V_n}\) là tổng của cấp số nhân với công bội \(q = \dfrac{1}{{27}}\) do đó

\({A_n} = V\left( {1 + \dfrac{1}{{27}} + {{\left( {\dfrac{1}{{27}}} \right)}^2} + ... + {{\left( {\dfrac{1}{{27}}} \right)}^n}} \right) = V\dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{1}{{27}}} \right)}^{n + 1}}}}{{1 - \dfrac{1}{{27}}}}.\)

Bước 3. Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {A_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left[ {V\dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{1}{{27}}} \right)}^{n + 1}}}}{{1 - \dfrac{1}{{27}}}}} \right] = \dfrac{V}{{1 - \dfrac{1}{{27}}}} = \dfrac{{27V}}{{26}}.\)

Chọn A.