Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều b...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Sử dụng  định nghĩa để tìm góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) :

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\\a \bot d;\,a \subset \left( P \right)\\b \bot d;b \subset \left( Q \right)\end{array} \right.\)  khi đó góc giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) chính là góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b.\)

+ Sử dụng định lý  hàm số cos trong tam giác để tính toán:

Cho tam giác \(ABC\) khi đó \(\cos A = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}}\)

Giải chi tiết:

Hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\) , ta tìm góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).

Gọi \(M\), \(N\) là trung điểm các cạnh \(AD\) và \(BC\), khi đó \(SM \bot AD\) và \(SN \bot BC\) (do các tam giác \(SBC;SAD\) là các tam giác đều).

Vì \(BC//AD\)  nên  giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là đường thẳng \(d\) qua \(S\) và song song \(AD\), \(BC\).

Vì \(SM \bot AD\) và \(SN \bot BC\) nên \(S\) và \(D\) mà \(SM \subset \left( {SAD} \right);SN \subset \left( {SBC} \right)\) nên  góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là góc \(\widehat {MSN}\). 

Mặt bên là các tam giác đều cạnh \(a\) nên \(SM = SN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(MN = AB = a\).

Khi đó : \(\cos \widehat {MSN} = \dfrac{{S{M^2} + S{N^2} - M{N^2}}}{{2SM.SN}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {a^2}}}{{2.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{\dfrac{{{a^2}}}{2}}}{{\dfrac{{3{a^2}}}{2}}} = \dfrac{1}{3}\).

Chọn: A