Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {3;1...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi d’ là đường thẳng qua M và song song d. Khi đó: \(\widehat {\left( {d;\Delta } \right)} = \widehat {\left( {d';\Delta } \right)}\)

+) Để \(\left( {\widehat {d;\Delta }} \right)\min \) thì \(\Delta \) là hình chiếu vuông góc của d’ lên \(\left( \alpha  \right)\).

Giải chi tiết:

Dễ dàng kiểm tra được \(M \in \left( \alpha  \right)\).

Gọi d’ là đường thẳng qua M và song song d. Khi đó: \(\widehat {\left( {d;\Delta } \right)} = \widehat {\left( {d';\Delta } \right)}\)

Để \(\left( {\widehat {d;\Delta }} \right)\min \) thì \(\Delta \) là hình chiếu vuông góc của d’ lên \(\left( \alpha  \right)\).

Phương trình đường thẳng d’ là:  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1 + 3t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\)

Lấy \(A\left( {3;4; - 1} \right) \in d'\) và \(A \ne M\). Tìm H là hình chiếu của A lên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\)

Đường thẳng AH nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}} \left( {1;1; - 1} \right)\) là 1 VTPT, có phương trình là:  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 4 + t\\z =  - 1 - t\end{array} \right.\)

Giả sử \(H\left( {3 + t;4 + t; - 1 - t} \right)\).

Mà \(H \in \left( \alpha  \right) \Rightarrow \)\(\left( {3 + t} \right) + \left( {4 + t} \right) - \left( { - 1 - t} \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow t =  - \dfrac{5}{3}\) \( \Rightarrow H\left( {\dfrac{4}{3};\dfrac{7}{3};\dfrac{2}{3}} \right)\)

\( \Rightarrow H\left( {\dfrac{4}{3};\dfrac{7}{3};\dfrac{2}{3}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {HM} \left( {\dfrac{5}{3}; - \dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right)\)

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\left( {3;1;1} \right)\) và có 1 VTCP \(\left( {5; - 4;1} \right)\) có PTTS là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 3t\\y =  - 4 + t\\z = 1 + t\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 8 + 5t'\\y =  - 3 - 4t'\\z = 2 + t'\end{array} \right.\).

Chọn: B