Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Gọi \(H\) là trung điểm \(BC\). Ta chứng minh \(AH \bot \left( {ABC} \right)\) và \(AH\) là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác \(SBC\)

+ Suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\) là giao của \(AH\) và đường trung trực cạnh \(AB.\)

+ Chỉ ra tam giác \(SBC\) vuông tại \(S\) từ đó tính \(SC\) theo định lý Pytago.

Giải chi tiết:

Lấy \(H\) là trung điểm \(BC\) suy ra \(AH \bot BC\) (do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\))

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\end{array} \right.\)  nên \(AH \bot \left( {SBC} \right)\) tại \(H.\)

Từ đề bài ta có \(AS = AB = AC\) nên \(A\) thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác \(SBC\) , lại có \(AH \bot \left( {SBC} \right)\) tại \(H\) nên \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(SBC \Rightarrow HB = HS = HC\) hay \(HS = \frac{1}{2}BC\) nên tam giác \(SBC\) vuông tại \(S.\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB,\) kẻ đường trung trực của \(AB\) cắt \(AH\) tại \(O.\)

Khi đó ta có \(OA = OB = OC = OS\) hay \(O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp \(S.ABC \Rightarrow OA = R = a.\)

+ Ta có \(\Delta OMA\) đồng dạng với \(\Delta BHA\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{OA}}{{AB}} = \frac{{MA}}{{HA}} \Leftrightarrow \frac{a}{a} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{HA}} \Rightarrow HA = \frac{a}{2}\) .

+ Xét tam giác vuông \(AHC\) có \(HC = \sqrt {A{C^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BC = 2HC = a\sqrt 3 \)

+ Xét tam giác \(SBC\) vuông tại \(S\left( {cmt} \right)\) có \(SC = \sqrt {B{C^2} - S{B^2}}  = \sqrt {3{a^2} - {a^2}}  = a\sqrt 2 .\)

Chọn B.