Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có các mặt bên đều là...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Nhận xét: $d\left( {A'B;B'C'} \right) = d\left( {B'C';\left( {A'BC} \right)} \right) = d\left( {C';\left( {A'BC} \right)} \right)$

+) Tính khoảng cách dựa vào thể tích: ${V_{B.A'CC'}} = \frac{1}{3}d\left( {C';\left( {A'BC} \right)} \right).{S_{A'BC}} \Rightarrow d\left( {C';\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{{3{V_{B.A'CC'}}}}{{{S_{A'BC}}}}$.

Giải chi tiết:

Do ABB’A’, BCC’B’ là hình vuông nên $\left\{ \begin{array}{l}BB' \bot AB\\BB' \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BB' \bot \left( {ABC} \right)$.

Lại có tất cả các mặt bên là hình vuông cạnh a $\Rightarrow \Delta ABC$ và $\Delta A'B'C'$ là các tam giác đều cạnh $a$.

$\Rightarrow$ Lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là lăng trụ đều có tất cả các cạnh bằng $a$.

Ta có $BC//B'C' \Leftrightarrow B'C'//\left( {A'BC} \right)$ , do đó

$d\left( {A'B;B'C'} \right) = d\left( {B'C';\left( {A'BC} \right)} \right) = d\left( {C';\left( {A'BC} \right)} \right)$.

Lại có ${V_{B.A'CC'}} = \frac{1}{3}d\left( {C';\left( {A'BC} \right)} \right).{S_{A'BC}} \Rightarrow d\left( {C';\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{{3{V_{B.A'CC'}}}}{{{S_{A'BC}}}}$.

Gọi $H$ là trung điểm của $AC \Rightarrow BH \bot AC$ và $BH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BH \bot AC\\BH \bot AA'\,\,\left( {AA' \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BH \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow BH \bot \left( {A'CC'} \right)$.

${S_{\Delta A'CC'}} = \frac{1}{2}A'C'.CC' = \frac{{{a^2}}}{2} \Rightarrow {V_{B.A'CC'}} = \frac{1}{3}BH.{S_{\Delta A'CC'}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABA’ và ACA’ ta tính được $A'B = A'C = a\sqrt 2$.

$\Rightarrow \Delta A'BC$ cân tại $A'$ . Gọi $K$ là trung điểm của $BC \Rightarrow A'K \bot BC$.

Xét tam giác vuông $A'BK$ ta có: $A'K = \sqrt {A'{B^2} - B{K^2}}  = \sqrt {2{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}}  = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}$.

$\Rightarrow {S_{A'BC}} = \frac{1}{2}.A'K.BC = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 7 }}{2}.a = \frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{4}$.

Vậy $d\left( {C';\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{{3{V_{B.A'CC'}}}}{{{S_{A'BC}}}} = \frac{{3.\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{4}}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}$.

Chọn C.