Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\left[ 0;+\i...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\(F\left( x \right)=\int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)dx}\Rightarrow F'\left( x \right)=f\left( x \right)\)

Giải chi tiết:

Đặt \(F\left( x \right)=\int\limits_{0}^{{{x}^{2}}}{f\left( t \right)dt}=x\sin \left( \pi x \right)\Leftrightarrow F\left( {{x}^{2}} \right)-F\left( 0 \right)=x\sin \left( \pi x \right)\Leftrightarrow F\left( {{x}^{2}} \right)=F\left( 0 \right)+x\sin \left( \pi x \right)\)

Lấy đạo hàm hai vế ta có

\(\begin{align}  \,\,\,\,\left( F\left( {{x}^{2}} \right) \right)'=\sin \left( \pi x \right)+\pi x\cos \left( \pi x \right)+\left( F\left( 0 \right) \right)' \\  \Leftrightarrow 2xf\left( {{x}^{2}} \right)=\sin \left( \pi x \right)+\pi x\cos \left( \pi x \right) \\ \end{align}\)

Thay \(x=2\) ta có \(2.2.f\left( 4 \right)=\sin \left( 2\pi  \right)+2\pi \cos \left( 2\pi  \right)\Leftrightarrow 4f\left( 4 \right)=2\pi \Leftrightarrow f\left( 4 \right)=\frac{\pi }{2}\)

Chọn: B.