Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình c...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựng hình, xác định khoảng cách thông qua điểm

Giải chi tiết:

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \(BD\). Gọi \(K\) là hình chiếu của \(A\) lên \(SH\).

Tam giác \(ABD\) vuông tại \(A\) có \(AH\bot BD\)\(\Leftrightarrow \frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{D}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}\Rightarrow \,\,AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)

Tam giác \(SAH\) vuông tại \(A\) có \(AK\bot SH\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{A{{K}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( 2a \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}\Leftrightarrow \,\,AK=\frac{2a\sqrt{57}}{19}.\)

Gọi \(\Leftrightarrow \)\(I=AC\cap \left( SBD \right)\)\(\Leftrightarrow \frac{AI}{CI}=\frac{d\left( A;\left( SBD \right) \right)}{d\left( C;\left( SBD \right) \right)}.\)

Mà \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(I\) là trung điểm \(AC\)

Suy ra \(\frac{AI}{CI}=1\)\(\Leftrightarrow d\left( A;\left( SBD \right) \right)=d\left( C;\left( SBD \right) \right)\Leftrightarrow d=\frac{2a\sqrt{57}}{19}\).

Chọn A