Cho hàm số 

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

1. TXĐ : D = R   (0,25đ)

Sự biến thiên

+ Giới hạn của hàm số tại vô cực :

  ( 0,25 đ)              

lim y = +∞

x-> +∞                                  ( 0,25 đ)              

+ Bảng biến thiên :

Ta có y’ = 3x² – 3

y’ = 0 <=>  x = ±1  ( 0,25 đ)              

  ( 0,25 đ)              

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞ ; -1) và (1; +∞) ;

nghịch biến trên khoảng (-1 ; 1)  ( 0,25 đ)              

Hàm số đạt cực đại tại x = -1, y_CĐ = 3  

hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, y_CT = -1

  ( 0,25 đ)              

+ Đồ thị :

Cho x = 0 => y = 1

  ( 0,25 đ)              

2. Phương trình hoành độ giao điểm.

x³ – 3x + 1 = mx + m + 3    (1)

   ⇔ x³ – 3x – 2  = m(x+1)

   ⇔    (x + 1)(x² – x  - 2) = m(x + 1)

   ⇔    (x + 1) (x² – x  - 2 – m) = 0

   ⇔   ( 0,25 đ)              

Để đường thẳng cắt đồ thị tại ba điểm M, N, P < = > pt (1) có ba nghiệm phân biệt < => pt (2) có hai nghiệm phân biệt khác (-1).

⇔ 

 ⇔   ( 0,5 đ)              

Gọi x₁, x₂ là nghiệm của phương trình (2). Theo Vi-ét ta có :

Do M(-1 ; 3) => x₁, x₂ là hoành độ của N, P

Ta có  y’ = f’(x) = 3x² – 3

=> Hệ số góc của tiếp tuyến tại N là f’(x₁) = 3.  – 3

=> Hệ số góc của tiếp tuyến tại P là f’(x₂) = 3.  – 3

  ( 0,25 đ)              

Do tiếp tuyến tại N và P vuông góc với nhau

⇔ f’(x₁). f’(x₂) = -1             

 ⇔ (3x₁² – 3)( 3x₂² – 3) = -1  ( 0,25 đ)     

  ⇔  9(x₁x₂)² – 9  - 9  + 9 = -1

   ⇔ 9(x₁x₂)² – 9 - 9  + 10 = 0

Theo Vi-et :

9(- 2 – m)² – 9[ 1²  - 2(-2 – m)] + 10 = 0  ( 0,25 đ)              

⇔ 9(2 + m)² - 9(5 + 2m) + 10 = 0

⇔ 9m² + 18m + 1 = 0

⇔  (TM)  ( 0,5 đ)               

Vậy    thỏa mãn yêu cầu bài toán.

( Chú ý : gt là  > ; lt là < )