Cho hình nón đỉnh \(S,\) chiều cao bằng \(12,\) đư...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét mặt phẳng thiết diện đi qua đỉnh và vuông góc với đáy, sử dụng định lí Thalet để xác định mối liên hệ giữa chiều cao, bán kính đáy của hình nón cần tìm

Giải chi tiết:

Xét khối nón \(\left( N \right)\) có đỉnh \(O,\) đáy là đường tròn \(\left( {{C}_{1}} \right)\) và bán kính \(r,\) chiều cao \(h.\)

Theo định lí Thalet, ta có

\(\frac{r}{R}=\frac{SH}{SO}\Leftrightarrow \frac{r}{4}=\frac{SO-OH}{SO}=\frac{12-h}{12}\Rightarrow h=12-3r>0\Rightarrow r<4.\)

Thể tích khối nón \(\left( N \right)\) là \(V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{\pi }{3}{{r}^{2}}\left( 12-3r \right).\)

Khảo sát hàm số \(f\left( r \right)={{r}^{2}}\left( 12-3r \right)\,;\,\left( r\in \left( 0;4 \right) \right)\)

Ta có : \(f'\left( r \right)=2r\left( 12-3r \right)-3{{r}^{2}}=-9{{r}^{2}}+24r=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & r=0 \\& r=\frac{8}{3}\in \left( 0;4 \right) \\\end{align} \right.\)

\(f\left( \frac{8}{3} \right)=\frac{256}{9}\Rightarrow \underset{\left( 0;4 \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( r \right)=\frac{256}{9}\)

Vậy thể tích lớn nhất cần tính là \({{V}_{\max }}=\frac{\pi }{3}.\frac{256}{9}=\frac{256\pi }{27}.\)

Chọn D.