Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang \(AB...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Bước 1. Đặt \(CD = a,\,d\left( {S,AB} \right) = b.\) Sử dụng tính chất của hai đường song song để thiết lập hệ thức giữa độ dài các cạnh.

Bước 2. Tính diện tích của MNPQ, SAB qua \(a,b,x.\)

Bước 3. Sử dụng giả thiết \({S_{MNPQ}} = \dfrac{2}{3}{S_{SAB}}\)để tìm \(x.\)

Giải chi tiết:

Đặt \(CD = a \Rightarrow AB = 2a.\) Giả sử \(d\left( {S,AB} \right) = b.\)

Ta có thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(MNPQ\,\,\left( {N \in BC,\,P \in SC,\,Q \in SD} \right).\) \( \Rightarrow QP//CD\) 

Vì \(MQ//SA\) nên \(\dfrac{{QS}}{{QD}} = \dfrac{{MA}}{{MD}} = x = \dfrac{x}{1} \Rightarrow \dfrac{{QS}}{{QS + QD}} = \dfrac{x}{{x + 1}} = \dfrac{{QS}}{{SD}}.\)

Vì \(QP//DC\) nên \(\dfrac{{QP}}{{DC}} = \dfrac{{QS}}{{SD}} = \dfrac{x}{{x + 1}} \Rightarrow QP = \dfrac{{ax}}{{x + 1}}.\)

Vì \(MN//AD//DC\) nên

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{{MK}}{{AB}} = \dfrac{{MD}}{{AD}} = \dfrac{1}{{x + 1}},\,\,\dfrac{{NK}}{{DC}} = \dfrac{{BN}}{{BC}} = \dfrac{{MA}}{{AD}} \Rightarrow \dfrac{{NK}}{{AB}} = \dfrac{{MA}}{{2AD}} = \dfrac{{xMD}}{{2AD}} = \dfrac{x}{{2\left( {x + 1} \right)}}\\ \Rightarrow \dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{{MK + NK}}{{AB}} = \dfrac{{2 + x}}{{2\left( {x + 1} \right)}} \Rightarrow MN = \dfrac{{a\left( {2 + x} \right)}}{{x + 1}}.\end{array}\)

Hơn nữa \(\dfrac{{d\left( {Q,MN} \right)}}{{d\left( {S,AB} \right)}} = \dfrac{{MD}}{{AD}} = \dfrac{1}{{x + 1}} \Rightarrow d\left( {Q,MN} \right) = \dfrac{b}{{x + 1}}.\)

Ta lại có \({S_{SAB}} = \dfrac{1}{2}d\left( {S,AB} \right).AB = ab\) và

\({S_{MNPQ}} = \dfrac{{QP + MN}}{2}d\left( {Q,MN} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{{\rm{ax}}}}{{x + 1}} + \dfrac{{a\left( {x + 2} \right)}}{{x + 1}}} \right)\dfrac{b}{{x + 1}} = \dfrac{{\left( {ax + a} \right)b}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{a\left( {x + 1} \right)b}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{ab}}{{x + 1}}.\)

Vì \({S_{MNPQ}} = \dfrac{2}{3}{S_{SAB}} \Rightarrow \dfrac{{ab}}{{x + 1}} = \dfrac{2}{3}ab \Rightarrow 2\left( {x + 1} \right) = 3 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}.\)

Chọn A.