Định m để phương trình \(m{\cos ^2}x - 4\sin x\cos...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

Với \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\) thì \(\cos x \ne 0\) nên ta chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) được:

\(\begin{array}{l}m - 4\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} + \dfrac{{m - 2}}{{{{\cos }^2}x}} = 0 \Leftrightarrow m - 4\tan x + \left( {m - 2} \right)\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right){\tan ^2}x - 4\tan x + 2m - 2 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Đặt \(\tan x = t\left( {t \in \left( {0;1} \right)} \right)\),  Khi đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right){t^2} - 4t + 2m - 2 = 0\left( 2 \right)\)

TH1: \(m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2\) khi đó ta có: \(0{t^2} - 4t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2} \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow m = 2\) thì phương trình ban đầu có nghiệm.

TH2: \(m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2\)

Để phương  trình có nghiệm thì phương trình \(\left( 2 \right)\) phải có nghiệm \(t \in \left( {0,1} \right)\).

\(\left( 2 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' = 4 - \left( {m - 2} \right)\left( {2m - 2} \right) \geqslant 0 \Leftrightarrow  - 2{m^2} + 6m \geqslant 0 \Leftrightarrow 2m\left( {3 - m} \right) \geqslant 0 \Leftrightarrow 0 \leqslant m \leqslant 3\)

+) TH1: \(\left( 2 \right)\) có nghiệm thỏa mãn \(0 < {t_1} < {t_2} < 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < {t_1} < 1\\0 < {t_2} < 1\\{t_1}{t_2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} > 0\\{t_1} + {t_2} < 2\\{t_1}{t_1} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{{m - 2}} > 0\\\frac{4}{{m - 2}} < 2\\\frac{{2m - 2}}{{m - 2}} > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 2\\\frac{{4 - 2m + 4}}{{m - 2}} < 0\\\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 2\\\frac{{8 - 2m}}{{m - 2}} < 0\\\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 2\\\left[ \begin{array}{l}m > 4\\m < 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 4.\end{array}\) .

+) TH2: \(\left( 2 \right)\) có nghiệm \({t_1},{t_2}\) thỏa mãn \({t_1} < 0 < {t_2} < 1\). Khi đó:

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} < 0\\0 < {t_2} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1}{t_2} < 0\\\left( {{t_1} - 1} \right)\left( {{t_2} - 1} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1}{t_2} < 0\\{t_1}{t_2} - \left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2m - 2}}{{m - 2}} < 0\\\frac{{2m - 2}}{{m - 2}} - \frac{4}{{m - 2}} + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 < m < 2\\\frac{{2m - 2 - 4 + m - 2}}{{m - 2}} > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 < m < 2\\\frac{{3m - 8}}{{m - 2}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 < m < 2\\\left[ \begin{array}{l}m > \frac{8}{3}\\m < 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < m < 2.\end{array}\) .

+) TH3: \(\left( 2 \right)\) có nghiệm \({t_1},{t_2}\) thỏa mãn \(0 < {t_1} < 1 < {t_2}\). Khi đó:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}0 < {t_1} < 1\\{t_2} > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1}{t_2} > 0\\{t_1} + {t_2} > 0\\{t_1} + {t_2} < 2\\\left( {{t_1} - 1} \right)\left( {{t_2} - 1} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2m - 2}}{{m - 2}} > 0\\\frac{4}{{m - 2}} > 0\\\frac{4}{{m - 2}} < 2\\\frac{{2m - 2}}{{m - 2}} - \frac{4}{{m - 2}} + 1 < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 1\end{array} \right.\\m - 2 > 0\\\frac{{4 - 2m + 4}}{{m - 2}} > 0\\\frac{{3m - 8}}{{m - 2}} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 1\end{array} \right.\\m > 2\\\frac{{2m - 8}}{{m - 2}} < 0\\\frac{{3m - 8}}{{m - 2}} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 2\\2 < m < 4\\2 < m < \frac{8}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 < m < \frac{8}{3}.\end{array}\) .

Từ ba trường hợp trên, kết hợp với điều kiện có nghiệm của \(\left( 2 \right)\) ta được \(m \in \left( {1;\frac{8}{3}} \right)\backslash \left\{ 2 \right\}\).

Kết hợp với \(m = 2\) ta được điều kiện cuả \(m\) là \(m \in \left( {1;\frac{8}{3}} \right)\).

Chọn A.