Tập hợp các giá trị của m để phương trìn...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp hàm số.

Giải chi tiết:

\({{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}=m\left( {{2}^{x}}+{{3}^{x}}+{{4}^{x}} \right)\Leftrightarrow m=\frac{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}}{{{2}^{x}}+{{3}^{x}}+{{4}^{x}}}\) (1)

Xét hàm số \(y=\frac{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}}{{{2}^{x}}+{{3}^{x}}+{{4}^{x}}}=\frac{{{2}^{-x}}+{{3}^{-x}}+{{4}^{-x}}}{{{2}^{x}}+{{3}^{x}}+{{4}^{x}}}\) trên \(\left[ 0;1 \right]\):

\(y'=\frac{-\left( {{2}^{-x}}\ln 2+{{3}^{-x}}\ln 3+{{4}^{-x}}\ln 4 \right)\left( {{2}^{x}}+{{3}^{x}}+{{4}^{x}} \right)-\left( {{2}^{-x}}+{{3}^{-x}}+{{4}^{-x}} \right)\left( {{2}^{x}}\ln 2+{{3}^{x}}\ln 3+{{4}^{x}}\ln 4 \right)}{{{\left( {{2}^{x}}+{{3}^{x}}+{{4}^{x}} \right)}^{2}}}<0,\forall x\in \left[ 0;1 \right]\)

\(\Rightarrow \)Hàm số nghịch biến trên \(\left[ 0;1 \right]\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  \underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{Min}}\,y=y(1)=\frac{13}{108} \\  \underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{Max}}\,y=y(0)=1 \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow \) Phương trình (1) có nghiệm trên \(\left[ 0;1 \right]\)\(\Leftrightarrow m\in \left[ \frac{13}{108};1 \right]\Rightarrow a=\frac{13}{108},\,\,b=1\Rightarrow a+b=\frac{121}{108}\)

Chọn: D