Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tọa độ hóa, xác định tọa độ điểm và áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng

Giải chi tiết:

Xét hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Gắn hệ trục như hình vẽ quy ước \(a=1\) ( đơn vị ).

Gọi \(D\) là giao điểm của \({A}'M\) và \(AC\). Vì tam giác \({A}'{B}'{C}'\) là tam giác cân cạnh bằng \(a\) nên ta suy ra độ dài các đường trung tuyến là \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Suy ra tọa độ các điểm như hình vẽ.

Theo giả thiết ta có \(\overrightarrow{CM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}'}\) vậy \(\Rightarrow \Delta AD{A}'\sim \Delta CDM\)

\(\Rightarrow \frac{AD}{CD}=2\Rightarrow \overrightarrow{DA}=-\,2\overrightarrow{DC}\) suy ra \(D\left( 0;\frac{2}{3};1 \right).\)

Ta có mặt phẳng \(ABC\) có phương trình \(z=1\Rightarrow \,{{\vec{n}}_{\left( ABC \right)}}=\left( 0;0;1 \right)\)

Mặt khác mặt phẳng \(\left( {A}'MB \right)\) là mặt phẳng đi qua ba điểm \({A}'\)\(,D\) và \(B\).

Ta có: \(\overrightarrow{{A}'D}=\left( 0;\frac{2}{3};1 \right)\) và \(\overrightarrow{{A}'B}=\left( \frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2};1 \right)\)

\(\Rightarrow {{\text{\vec{n}}}_{\left( {A}'BM \right)}}=\left[ \overrightarrow{{A}'D},\overrightarrow{{A}'B} \right]=\left( \frac{1}{6};\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{-\sqrt{3}}{3} \right)\)

Vậy cô sin góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {A}'MB \right)\) và \(\left( ABC \right)\) là:

\(\cos \left( \widehat{\left( A'BM \right),\left( ABC \right)} \right)=\left| \cos \widehat{\left( {{{\vec{n}}}_{\left( {A}'BM \right)}},{{{\vec{n}}}_{\left( ABC \right)}} \right)} \right|=\frac{\left| \frac{-\sqrt{3}}{3} \right|}{\sqrt{\frac{1}{36}+\frac{3}{4}+\frac{1}{3}}.\sqrt{1}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{30}}{10}\).

Chọn C