Cho hình chữ nhật ABCD có \(AB=a,BC=2a.\)...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính thể tích khối trụ và thể tích khối cầu.

Giải chi tiết:

Khi xoay hình chữ nhật ABCD quanh đường thẳng d ta nhận được hai khối trụ.

Gọi \({{V}_{1}}\) là thể tích của khối trụ có đường cao BC và bán kính đáy OA.

Gọi \({{V}_{2}}\) là thể tích của khối trụ có đường cao BC và bán kính đáy OB.

Khi đó thể tích phần tròn xoay cần tính

\(\begin{align}  V={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=\pi O{{A}^{2}}AD-\pi O{{B}^{2}}AD \\  \,\,\,\,\,=\pi {{\left( a+x \right)}^{2}}.2a-\pi {{x}^{2}}.2a=\pi 2a\left( {{a}^{2}}+2ax \right) \\ \end{align}\)

Thể tích khối cầu có bán kính bằng a là \(V'=\frac{4}{3}\pi {{a}^{3}}\)

Ta có:

\(V=3V'\Leftrightarrow \pi .2a\left( {{a}^{2}}+2ax \right)=4\pi {{a}^{3}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2ax=2{{a}^{2}}\Leftrightarrow x=\frac{a}{2}\)

Chọn A.