Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy hình chữ nhật, \(A...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đưa khoảng cách từ M đến (SAC) về khoảng cách từ H đến (SAC).

Giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm của AB ta có \(SH\bot \left( ABCD \right)\)

Ta có \(\widehat{\left( SC;\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SC;HC \right)}=\widehat{SCH}={{45}^{0}}\)

\(\Rightarrow \Delta SHC\) vuông cân tại H \(\Rightarrow SH=HC=\sqrt{B{{C}^{2}}+B{{H}^{2}}}=\frac{a\sqrt{17}}{2}\)

\(d\left( M;\left( SAC \right) \right)=\frac{1}{2}d\left( D;\left( SAC \right) \right)=\frac{1}{2}d\left( B;\left( SAC \right) \right)=d\left( H;\left( SAC \right) \right)\)

Trong \(\left( ABD \right)\) kẻ \(HI\bot AC\), trong \(\left( SHI \right)\) kẻ \(HK\bot SI\) ta có:

\(\left\{ \begin{align}  AC\bot HI \\  AC\bot SH \\\end{align} \right.\Rightarrow AC\bot \left( SHI \right)\Rightarrow AC\bot HK\Rightarrow HK\bot \left( SAC \right)\Rightarrow d\left( H;\left( SAC \right) \right)=HK\)

Ta có \(\Rightarrow \Delta AHI\backsim \Delta ACB\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{HI}{BC}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow HI=\frac{2a.\frac{a}{2}}{a\sqrt{5}}=\frac{a}{\sqrt{5}}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{I}^{2}}}=\frac{1}{\frac{17{{a}^{2}}}{4}}+\frac{1}{\frac{{{a}^{2}}}{5}}=\frac{89}{17{{a}^{2}}}\Rightarrow HK=\frac{a\sqrt{17}}{\sqrt{89}}=\frac{a\sqrt{1513}}{89}\) 

Chọn D.