Tìm nghiệm nguyên \({x^2} + {y^2} = 5{z^2}.\)

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét số dư của số bình phương với 5 để suy ra tính chia hết của \(x,\,\,y\) với 5.

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình rồi kết luận.

Giải chi tiết:

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} \equiv 0;1;4\,\,\left( {\bmod 5} \right)\\{y^2} \equiv 0;1;4\,\,\left( {\bmod 5} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^2} \equiv 0;1;2;3\,\,\left( {\bmod 5} \right)\)

Mà \({x^2} + {y^2} \equiv 0\,\,\left( {\bmod 5} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \equiv 0\,\,\left( {\bmod 5} \right)\\y \equiv 0\,\,\left( {\bmod 5} \right)\end{array} \right.\)

Giả sử phương trình có nghiệm \(\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} \equiv 0\,\,\left( {\bmod 5} \right)\\{y_0} \equiv 0\,\,\left( {\bmod 5} \right)\end{array} \right.\)

Gọi \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 5{x_1}\\{y_0} = 5{y_1}\end{array} \right.\,\,\left( {{x_1};{y_1} \in \mathbb{Z}} \right)\)

Thay vào phương trình đã cho ta có:

                 \(\begin{array}{l}25x_1^2 + 25y_1^2 = 5z_0^2\\ \Leftrightarrow 5x_1^2 + 5y_1^2 = z_0^2\\ \Rightarrow {z_0}\,\, \vdots \,\,5\\ \Rightarrow {z_0} = 5{z_1}\,\,\left( {{z_1} \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Khi đó ta có phương trình \(x_1^2 + y_1^2 = 5z_1^2 \Rightarrow \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) cũng là một nghiệm của phương trình đã cho.

Chứng minh tương tự ta có \(\left( {\dfrac{{{x_0}}}{{{5^k}}};\dfrac{{{y_0}}}{{{5^k}}};\dfrac{{{z_0}}}{{{5^k}}}} \right)\,\,\forall k \in \mathbb{N}\) là nghiệm của phương trình đã cho.

Suy ra phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {0;0;0} \right)\).