Cho hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} ;\;\;F'\left( x \right) = f\left( x \right).\)

Xác định hàm số \(F\left( x \right)\) và chọn đáp án đúng.

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {\frac{{2\cos x - 1}}{{{{\sin }^2}x}}dx}  = 2\int {\frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}dx}  - \;\;\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\int {\frac{{d\left( {\sin x} \right)}}{{{{\sin }^2}x}} + \cot x + C =  - \frac{2}{{\sin x}} + \cot x + C.} \end{array}\)

Có \(F'\left( x \right) = f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2\cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in Z} \right)\)

\(\begin{array}{l}x \in \left( {0;\;\pi } \right) \Rightarrow x = \frac{\pi }{3} \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{\left( {0;\pi } \right)} F\left( x \right) = \sqrt 3 \;\;khi\;\;x = \frac{\pi }{3}.\\ \Rightarrow F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3  \Leftrightarrow  - \frac{2}{{\sin \frac{\pi }{3}}} + \cot \frac{\pi }{3} + C = \sqrt 3  \Leftrightarrow  - \sqrt 3  + C = \sqrt 3  \Leftrightarrow C = 2\sqrt 3 \\ \Rightarrow F\left( x \right) =  - \frac{2}{{\sin x}} + \cot x + 2\sqrt 3 \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F\left( {\frac{\pi }{6}} \right) =  - 4 + 3\sqrt 3 \\F\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \\F\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) =  - 4 + \sqrt 3 \end{array} \right..\end{array}\)

Chọn A.