Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ {0;...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đồ thị hàm số giải bất phương trình.

Giải chi tiết:

Để bất phương trình \(m + {e^{\frac{\pi }{2}}} \ge \sqrt[4]{{{e^{2x}} + 1}} = f\left( x \right)\) đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow m + {e^{\frac{\pi }{2}}} \ge \mathop {\max }\limits_{x \in \mathbb{R}} f\left( x \right)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt[4]{{{e^{2x}} + 1}}\) ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{4}{\left( {{e^{2x}} + 1} \right)^{\frac{{ - 3}}{4}}}.2{e^{2x}} > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

BBT :

Dựa vào BBT ta thấy BPT nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow m + {e^{\frac{\pi }{2}}} > 1 \Leftrightarrow m > 1 - {e^{\frac{\pi }{2}}} \approx  - 3,81\).

Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in \left[ {0;2018} \right]\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Rightarrow \) có 2019 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn D.