Cho \(x;y\) là các số thực thỏa mãn \({\log _4}\le...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi giả thiết để tìm mối liên hệ của \(x\) theo \(y\). Thay vào biểu thức \(P\) rồi sử dụng phương pháp hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất của \(P.\) 

Giải chi tiết:

Ta có \({\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1\)

ĐK: \(x > y;x >  - y \Rightarrow x > \left| y \right|.\)

Suy ra \({\log _4}\left( {{x^2} - {y^2}} \right) \ge 1 \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} \ge 4 \Leftrightarrow {x^2} \ge {y^2} + 4 \Rightarrow x \ge \sqrt {{y^2} + 4} \)  (vì \(x > 0\))

Lại có \(P = 2x - y \ge 2\sqrt {{y^2} + 4}  - y \ge 2\sqrt {{y^2} + 4}  - \left| y \right|\)

Đặt \(t = \left| y \right| \ge 0\)

Xét \(f\left( t \right) = 2\sqrt {{t^2} + 4}  - t\) có \(f'\left( t \right) = 2\dfrac{t}{{\sqrt {{t^2} + 4} }} - 1 = 0 \Rightarrow 2t = \sqrt {{t^2} + 4}  \Rightarrow 3{t^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t =  - \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

BBT của \(f\left( t \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Từ BBT suy ra \(\min f\left( t \right) = 2\sqrt 3  \Leftrightarrow t = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\)

Suy ra \(P \ge 2\sqrt 3 \) hay GTNN của \(P\) là \(2\sqrt 3  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{4}{{\sqrt 3 }};y = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\\x = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }};y =  - \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right.\)

Chọn C.