Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để p...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đặt \(x+\sqrt{1-{{x}^{2}}}=t\), tìm khoảng giá trị của \(t\).

+) Đưa bài toán về dạng \(m=f\left( t \right)\). Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(1-{{x}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow -1\le x\le 1\).

Đặt \(x+\sqrt{1-{{x}^{2}}}=t\) ta có \({{t}^{2}}={{x}^{2}}+1-{{x}^{2}}+2x\sqrt{1-{{x}^{2}}}=1+2x\sqrt{1-{{x}^{2}}}\Rightarrow x\sqrt{1-{{x}^{2}}}=\frac{{{t}^{2}}-1}{2}\).

Ta có: \(t\left( x \right) = x + \sqrt {1 - {x^2}} ,\,\,x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow t'\left( x \right) = 1 - {x \over {\sqrt {1 - {x^2}} }} = {{\sqrt {1 - {x^2}}  - x} \over {\sqrt {1 - {x^2}} }} = 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {1 - {x^2}} = x \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 0 \hfill \cr
1 - {x^2} = {x^2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 0 \hfill \cr
{x^2} = {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = {{\sqrt 2 } \over 2}\)

BBT:

Từ BBT ta có: \(t\in \left[ -1;\sqrt{2} \right]\).

Khi đó phương trình trở thành : \({{e}^{m}}+{{e}^{3m}}=2t\left( 1+\frac{{{t}^{2}}-1}{2} \right)=t\left( {{t}^{2}}+1 \right)={{t}^{3}}+t\,\,\left( * \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{t}^{3}}+t\) ta có \(f'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0\,\,\forall t\Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( -1;\sqrt{2} \right)\).

Từ (*) \(\Rightarrow f\left( {{e}^{m}} \right)=f\left( t \right)\Leftrightarrow {{e}^{m}}=t\Leftrightarrow m=\ln t\Rightarrow m\in \left( 0;ln\sqrt{2} \right)=\left( 0;\frac{1}{2}\ln 2 \right)\).

Chọn B.