Cho hình đa diện SABCD có \(SA=4,\,\,SB=2...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Trên các tia SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ sao cho SA’=SB’=SC’=1.

- Chứng minh SA’B’C’D là chóp tứ giác đều.

- Tính khoảng cách từ A đến (SCD) thông qua khoảng cách từ A’ đến (SC’D).

Giải chi tiết:

Chóp tứ giác S.ABCD có:  \(SA'=SB'=SC'=SD=1\) và  \(\widehat{A'SB'}=\widehat{B'SC'}=\widehat{C'SD}=\widehat{DSA'}={{60}^{0}}\)

\(\Rightarrow S.A'B'C'D\) là chóp tứ giác đều.

+) Tính khoảng cách từ A’ đến (SC’D):

\(\left\{ \begin{align}  & A'C'\cap (SC'D)=C' \\ & A'C'=2.OC' \\\end{align} \right.\Rightarrow d(A';(SC'D))=2.d(O;(SC'D))\)

Ta có : \(OM=\frac{A'D}{2}=\frac{1}{2}\), \(OC=\frac{\sqrt{2}}{2}.1=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Delta SOC'\) vuông tại O  \(\Rightarrow SO=\sqrt{SC{{'}^{2}}-OC{{'}^{2}}}=\sqrt{1-{{\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Delta SOM\) vuông tại O, \(OH\bot SM\Rightarrow \frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{O}^{2}}}+\frac{1}{O{{M}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}=6\Rightarrow OH=\frac{1}{\sqrt{6}}\)

\(\Rightarrow d(O;(SC'D))=\frac{1}{\sqrt{6}}\Rightarrow d(A';(SC'D))=\frac{2}{\sqrt{6}}\)

+) Vì \(\left\{ \begin{align}  & SA\cap (SC'D)=C' \\ & SA=4.SA' \\\end{align} \right.\Rightarrow d(A;(SC'D))=4.d(A';(SC'D))=4.\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{8}{\sqrt{6}}=\frac{4\sqrt{6}}{3}\)

Vậy,  khoảng cách từ A đến (SCD) là \(\frac{4\sqrt{6}}{3}\).

Chọn: B