Cho \(a > 0,b > 0\) thỏa mãn \({\log _{10a +...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Chứng minh các cơ số trong biểu thức logarit đều lớn \(1\) và đánh giá vế trái đẳng thức đã cho \( \ge 2\)

- Sử dụng điều kiện xảy ra dấu \( = \) và tìm \(a,b\)

Giải chi tiết:

Vì \(a,b > 0\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}10a + 3b + 1 > 1\\25{a^2} + {b^2} + 1 > 1\\10ab + 1 > 1\end{array} \right. \Rightarrow {\log _{10ab + 1}}\left( {10a + 3b + 1} \right) > 0\)

Lại có : \(25{a^2} + {b^2} + 1 \ge 10ab + 1\,\,\left( {do\,\,{{\left( {5a} \right)}^2} + {b^2} \ge 2.5a.b = 10ab} \right)\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 5a\( \Rightarrow {\log _{10a + 3b + 1}}\left( {25{a^2} + {b^2} + 1} \right) \ge {\log _{10a + 3b + 1}}\left( {10ab + 1} \right)\)

Suy ra :

\(2 = {\log _{10a + 3b + 1}}\left( {25{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{10ab + 1}}\left( {10a + 3b + 1} \right) \ge {\log _{10a + 3b + 1}}\left( {10ab + 1} \right) + {\log _{10ab + 1}}\left( {10a + 3b + 1} \right)\)

Mà \({\log _{10a + 3b + 1}}\left( {10ab + 1} \right) + {\log _{10ab + 1}}\left( {10a + 3b + 1} \right) = {\log _{10a + 3b + 1}}\left( {10ab + 1} \right) + \frac{1}{{{{\log }_{10a + 3b + 1}}\left( {10ab + 1} \right)}} \ge 2\)

Dấu \( = \) xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}b = 5a\\{\log _{10a + 3b + 1}}\left( {10ab + 1} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5a\\10ab + 1 = 10a + 3b + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5a\\a = \frac{1}{2}\left( {tm} \right);a = 0\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{5}{2}\end{array} \right.\).

Khi đó ta có : \(a+2b=\frac{1}{2}+2.\frac{5}{2}=\frac{11}{2}.\)

Chọn D.