Cho số phức \(z = 1 + \left( {1 + i} \right) + {\l...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và có công bội \(q\) thì có tổng \(n\) số hạng đầu là \({S_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)

Giải chi tiết:

Tổng trên là tổng của một cấp số nhân với \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\q = 1 + i\end{array} \right.\).

Vậy \(z = 1 + \left( {1 + i} \right) + {\left( {1 + i} \right)^2} + ... + {\left( {1 + i} \right)^{2018}}\)\( \Rightarrow z = {S_{2019}} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^{2019}}} \right)}}{{1 - q}}\)\( \Rightarrow z = \dfrac{{\left( {1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{2019}}} \right)}}{{ - i}}\).

\( \Rightarrow z = \dfrac{{\left\{ {1 - {{\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^4}} \right]}^{504}}.{{\left( {1 + i} \right)}^3}} \right\}}}{{ - i}}\)\( \Rightarrow z = \dfrac{{\left[ {1 - {{\left( { - 4} \right)}^{504}}.\left( { - 2 + 2i} \right)} \right]}}{{ - i}}\)\( \Rightarrow z = \dfrac{{\left[ {1 - {2^{1009}}.\left( { - 1 + i} \right)} \right]}}{{ - i}}\).

\( \Rightarrow z = {2^{1009}} + \left( {1 + {2^{1009}}} \right)i\).

Chọn C.