Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của \(m\) để p...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\), đặt \(t = \cos x\) đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn \(t\).

+) Từ ĐK của \(x \Rightarrow \) ĐK của \(t\). Tìm ĐK để phương trình có nghiệm \(t\) thỏa mãn ycbt.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,2\left( {m + 1 - {{\sin }^2}x} \right) - \left( {4m + 1} \right)\cos x = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {m + 1} \right) - 2\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) - \left( {4m + 1} \right)\cos x = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - \left( {4m + 1} \right)\cos x + 2m = 0\end{array}\)

Đặt \(t = \cos x,\,\,x \in \left( {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right) \Rightarrow t \in \left[ { - 1;0} \right)\), khi đó bài toán trở thành:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của \(m\) để phương trình \(2{t^2} - \left( {4m + 1} \right)t + 2m = 0\,\,\left( * \right)\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left[ { - 1;0} \right)\).

\(\begin{array}{l}2{t^2} - \left( {4m + 1} \right)t + 2m = 0 \Leftrightarrow 2{t^2} - t = 2m\left( {2t - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {2t - 1} \right)\left( {t - 2m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{1}{2} \notin \left[ { - 1;0} \right)\\t = 2m\end{array} \right.\end{array}\).

Để (*) có nghiệm thuộc khoảng \(\left[ { - 1;0} \right)\) \( \Rightarrow  - 1 \le 2m < 0 \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} \le m < 0\).

Vậy \(m \in \left[ { - \dfrac{1}{2};0} \right)\).

Chọn D.