Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi c...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right),\,\,x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} = k \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt k \).

Ta có \({S_1} = \int\limits_{\sqrt k }^4 {\left( {{x^2} - k} \right)dx}  = \left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - kx} \right)} \right|_{\sqrt k }^4 = \dfrac{{64}}{3} - 4k - \dfrac{{k\sqrt k }}{3} + k\sqrt k  = \dfrac{{64}}{3} - 4k + \dfrac{{2k\sqrt k }}{3}\)

\({S_2} = \int\limits_0^4 {{x^2}dx}  - {S_1} = \dfrac{{64}}{3} - {S_1}\).

Để \({S_1} = {S_2} \Leftrightarrow \dfrac{{64}}{3} - {S_1} = {S_1} \Leftrightarrow {S_1} = \dfrac{{32}}{3}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{64}}{3} - 4k + \dfrac{{2k\sqrt k }}{3} = \dfrac{{32}}{3} \Leftrightarrow 4k - \dfrac{{2k\sqrt k }}{3} = \dfrac{{32}}{3} \Leftrightarrow 12k - 2k\sqrt k  = 32 \Leftrightarrow k = 4\).

Chọn D.