Cho đa thức \(P\left( x \right) = a\,{x^3} + b{x^2...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Thay các giá trị \(x = 0\,;\,x = 1\,;\,x =  - 1\,;\,x = 2\) vào \(P\left( x \right)\)  kết hợp tính chất chia hết của một tổng để chứng minh.

Giải chi tiết:

Ta có \(P\left( 0 \right) = d \Rightarrow d \vdots 5\)

\(P\left( 1 \right) = a + b + c + d\) \( \Rightarrow \left( {a + b + c + d} \right) \vdots 5\)  (1) \( \Rightarrow \left( {a + b + c} \right) \vdots 5\) (do \(d \vdots 5\))

\(P\left( { - 1} \right) =  - a + b - c + d \Rightarrow \left( { - a + b - c + d} \right) \vdots 5\)   (2)

Cộng (1) và (2) ta có: \(\left( {2b + 2d} \right) \vdots 5\)

Mà \(d \vdots 5 \Rightarrow 2d \vdots 5 \Rightarrow 2b \vdots 5 \Rightarrow b \vdots 5\)

\(P\left( 2 \right) = 8a + 4b + 2c + d \Rightarrow \left( {8a + 4b + 2c + d} \right) \vdots 5\)

\( \Rightarrow \left( {8a + 2c} \right) \vdots 5\) (vì \(\left( {4b + d} \right) \vdots 5\))

\( \Rightarrow \left( {6a + 2a + 2c} \right) \vdots 5 \Rightarrow \left[ {6a + 2\left( {a + c} \right)} \right] \vdots 5\)

Mà \(\left( {a + c} \right) \vdots 5\)  (vì \(\left( {a + b + c} \right) \vdots 5\) và \(b \vdots 5\))

\( \Rightarrow 6a \vdots 5 \Rightarrow a \vdots 5 \Rightarrow c \vdots 5\)

Vậy a, b, c, d chia hết cho 5.