Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Ta có: \(\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)\left( {7 - 3\sqrt 5 } \right) = 49 - 45 = 4\) \( \Rightarrow 7 - 3\sqrt 5  = \dfrac{4}{{7 + 3\sqrt 5 }}.\)

+) Đặt ẩn phụ và đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai ẩn t từ đó tìm m theo yêu cầu của đề bài.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)\left( {7 - 3\sqrt 5 } \right) = 49 - 45 = 4\) \( \Rightarrow 7 + 3\sqrt 5  = \dfrac{4}{{7 - 3\sqrt 5 }}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \;{\left( {7 - 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} + m{\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} = {2^{{x^2} - 1}}\\ \Leftrightarrow \;{\left( {\dfrac{4}{{7 + 3\sqrt 5 }}} \right)^{{x^2}}} + m{\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} = \dfrac{1}{2}{.2^{{x^2}}}\\ \Leftrightarrow {2.2^{2{x^2}}} - {2^{{x^2}}}.{\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)^2} + 2m{\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)^{2{x^2}}} = 0\;\\ \Leftrightarrow 2.{\left( {\dfrac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }}} \right)^{2{x^2}}} - {\left( {\dfrac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }}} \right)^{{x^2}}} + 2m = 0\;\;\;\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \({\left( {\dfrac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }}} \right)^{{x^2}}} = t\; \Rightarrow {x^2} = {\log _{\dfrac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }}}}t.\)

Ta có: \(0 < \dfrac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }} < 1 \Rightarrow {\log _{\dfrac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }}}}t > 0 \Leftrightarrow 0 < t < 1.\)

\( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 2{t^2} - t + 2m = 0\;\;\left( 1 \right)\)

Để phương trình \(\left( * \right)\) có 4 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow pt\;\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \(t \in \left( {0;\;1} \right).\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\af\left( 0 \right) > 0\\af\left( 1 \right) > 0\\0 <  - \dfrac{b}{{2a}} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 16m > 0\\4m > 0\\2\left( {2m + 1} \right) > 0\\0 < \dfrac{1}{2} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{1}{{16}}\\m > 0\\m >  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < \dfrac{1}{{16}}.\)

Chọn A.