Cho khối chóp 

A

- Hướng dẫn giải

Đáp án A

Ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}SA\perp \left(ABCD\right)\\ BC\perp AB\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right) \\ \Rightarrow \widehat{\left(SBC\right);\left(ABCD\right)}=\widehat{SBA} \end{gathered}$$ $R_{ABCD}=\frac{AC}{2}a.$

Tam giác SAB vuông tại A, có

$$\begin{gathered} \tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB} \\ \Rightarrow SA=\tan {60}^{\circ }.a\sqrt{3}=3a. \end{gathered}$$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD là  

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là:

$$\begin{gathered} R=\sqrt{R_{ABCD}^2+\frac{S{A}^2}{4}} \\ =\sqrt{a^2+\frac{{\left(3a\right)}^2}{4}}=\frac{a\sqrt{13}}{2} \\ \Rightarrow V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{13\sqrt{13}\pi a^3}{6} \end{gathered}$$