Cho x, y là các số thực thỏa mãn

- Hướng dẫn giải

Điều kiện: x+y>0, x-y>0

$$\begin{gathered} {\log }_4(x+y)+{\log }_4(x-y)\ge 1 \\ \iff {\log }_4\left(x^2-y^2\right)\ge 1\iff x^2-y^2\ge 4 \end{gathered}$$

Ta có:

$$\begin{gathered} P=2x-y \\ =\frac{x+y+3\left(x-y\right)}{2}\ge \sqrt{\left(x+y\right).3\left(x-y\right)} \\ =\sqrt{3\left(x^2-y^2\right)}\ge \sqrt{3.4}=2\sqrt{3} \end{gathered}$$

Dấu bằng xảy ra khi:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+y=3(x-y)\\ x^2-y^2=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y=3(x-y)\\ 3{(x-y)}^2=4\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x-y=\frac{2}{\sqrt{3}}\\ x+y=2\sqrt{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}\\ y=-\frac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy $P_{min}=2\sqrt{3}$

Đáp án cần chọn là: C.