Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là ta...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xác định góc giữa mặt phẳng (AB’C’) và mặt đáy.

+) Tính AA’.

+) Tính diện tích đáy: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC}\)

+) \({V_{lt}} = {S_{day}}.h\)

Giải chi tiết:

Gọi D là trung điểm của B’C’. Vì tam giác \(A'B'C'\) cân tại A’ nên \(A'D \bot B'C'\) (trung tuyến đồng thời là đường cao)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}A'D \bot B'C'\\AA' \bot B'C'\end{array} \right\} \Rightarrow B'C' \bot \left( {AA'D} \right) \Rightarrow B'C' \bot AD\)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left( {AB'C'} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = B'C'\\\left( {AB'C'} \right) \supset AD \bot B'C'\\\left( {A'B'C'} \right) \supset A'D \bot B'C'\end{array} \right\}\\ \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {AB'C'} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AD;A'D} \right)} = \widehat {ADA'} = {60^0}\end{array}\)

Vì tam giác \(A'B'C'\)cân tại A’ nên \(\widehat {DA'C'} = \dfrac{1}{2}\widehat {B'A'C'} = {60^0}\) (trung tuyến đồng thời là phân giác)

Xét tam giác vuông \(A'DC'\) có: \(A'D = A'C'.cos60 = 2a.\dfrac{1}{2} = a\)

Xét tam giác vuông \(AA'D\) có: \(AA' = A'D.\tan 60 = a.\sqrt 3 \)

\({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}.2a.2a.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = {a^2}\sqrt 3 \)

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = a\sqrt 3 .{a^2}\sqrt 3  = 3{a^3}\)

Chọn D.