Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(t = {2^{{{\sin }^2}x}}\,\,\left( {0 \le {{\sin }^2}x \le 1 \Rightarrow t \in \left[ {1;2} \right]} \right)\).

Giải chi tiết:

Đặt \(t = {2^{{{\sin }^2}x}}\,\,\left( {0 \le {{\sin }^2}x \le 1 \Rightarrow t \in \left[ {1;2} \right]} \right)\)

Ta có: \({2^{{{\cos }^2}x}} = {2^{1 - {{\sin }^2}x}} = \frac{2}{t}\), khi đó ta có \(f\left( t \right) = 2 + \frac{2}{t}\,\,\left( {t \in \left[ {1;2} \right]} \right)\)

\(f'\left( t \right) = 1 - \frac{2}{{{t^2}}} \Leftrightarrow {t^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow t =  \pm \sqrt 2 \)

\(f\left( 1 \right) = 3;\,\,f\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 ;\,\,f\left( 2 \right) = 3 \Rightarrow m = \min f\left( t \right) = 2\sqrt 2 ;\,\,M = \max f\left( t \right) = 3 \Rightarrow M.m = 6\sqrt 2 \)

Chọn D.