Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức \({\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left( {xy} \right)\,\,\left( {0 < a \ne 1;\,\,x,y > 0} \right)\).

+) Sử dụng công thức SHTQ của CSN có số hạng đầu \({u_1}\), công bội \(q\) là \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\).

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\log _2^2\left( {5{u_1}} \right) + \log _2^2\left( {7{u_1}} \right) = \log _2^25 + \log _2^27\\ \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_2}5 + {{\log }_2}{u_1}} \right)^2} + {\left( {{{\log }_2}7 + {{\log }_2}{u_1}} \right)^2} = \log _2^25 + \log _2^27\\ \Leftrightarrow \log _2^25 + 2{\log _2}5lo{g_2}{u_1} + log_2^2{u_1} + \log _2^27 + 2{\log _2}7lo{g_2}{u_1} + log_2^2{u_1} = \log _2^25 + \log _2^27\\ \Leftrightarrow 2{\log _2}5lo{g_2}{u_1} + log_2^2{u_1} + 2{\log _2}7lo{g_2}{u_1} + log_2^2{u_1} = 0\\ \Leftrightarrow 2\log _2^2{u_1} + 2\left( {{{\log }_2}5 + {{\log }_2}7} \right){\log _2}{u_1} = 0\\ \Leftrightarrow 2\log _2^2{u_1} + 2{\log _2}35{\log _2}{u_1} = 0\\ \Leftrightarrow 2{\log _2}{u_1}\left[ {{{\log }_2}{u_1} + {{\log }_2}35} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}{u_1} = 0\\{\log _2}{u_1} + {\log _2}35 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\,\,\left( {ktm} \right)\\35{u_1} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow {u_1} = \dfrac{1}{{35}}\end{array}\)

Ta có \({u_{n + 1}} = 7{u_n} \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có \({u_1} = \dfrac{1}{{35}},\,\,q = 7\)

\( \Rightarrow {u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = \dfrac{1}{{35}}{.7^{n - 1}}\)

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}{u_n} > 1111111 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{35}}{.7^{n - 1}} > 1111111 \Leftrightarrow {7^{n - 1}} > 35.1111111\\ \Leftrightarrow n - 1 > {\log _7}\left( {35.1111111} \right) \Leftrightarrow n > {\log _7}\left( {35.1111111} \right) + 1 \approx 9,98\end{array}\)

Vậy GTNN của \(n\) là \(10\).

Chọn D.