Cho \(\int\limits_1^a {\dfrac{{x + 1}}{x}dx}  = e,...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\int\limits_1^a {\dfrac{{x + 1}}{x}dx}  = \int\limits_1^a {\left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)dx}  = \left. {\left( {x + \ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^a\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = a + \ln \left| a \right| - 1 = a + \ln a - 1\,\,\,\left( {do\,\,a > 1} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow a + \ln a - 1 = e\,\,\left( * \right)\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = x + \ln x - 1\,\,\left( {x > 0} \right)\) ta có \(f'\left( x \right) = 1 + \dfrac{1}{x} > 0\,\,\forall x > 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

\( \Rightarrow \left( * \right)\) có tối đa 1 nghiệm \(a \in \left( {0; + \infty } \right)\). Mà \(f\left( e \right) = e + \ln e - 1 = e \Rightarrow \) Phương trình có nghiệm duy nhất \(a = e\).

Chọn: D