Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn, nội tiếp đườn...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh tứ giác AEHF có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

b) Chứng minh hai tam giác ABD và tam giác CHD đồng dạng.

c) Chứng minh OI và HK cùng vuông góc với AK.

Giải chi tiết:

a) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AH,\) chứng minh \(AEHF\) nội tiếp đường tròn \(\left( I \right).\)

Xét tứ giác \(AEHF\) ta có: \(\angle AFH = \angle AEH = {90^0}\) (gt) \( \Rightarrow \angle AFH + \angle AEH = {180^0}\).

\( \Rightarrow AEHF\) nội tiếp đường tròn đường kính AH (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

\(\angle AFH,\;\angle AEH = {90^0} \Rightarrow \angle AFH,\;\angle AEH\) cùng nhìn đoạn \(AH\) dưới góc \({90^0}.\)

Mà I là trung điểm của AH.

Vậy tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn \(\left( I \right)\) đườn kính AH.

b) Chứng minh \(DB.DC = DA.DH.\)

Ta có: \(\angle AHF + \angle FAH = {90^0}\)  (\(\Delta AFH\) vuông tại \(F\)).

\(\angle ABD + \angle DAB = {90^0}\) (\(\Delta ABD\) vuông tại \(D\)).

\( \Rightarrow \angle AHF = \angle ABD\) (cùng phụ với \(\angle FAH\))

Mà \(\angle DHC = \angle AHF\) (hai góc đối đỉnh).

\( \Rightarrow \angle ABD = \angle DHC\;\;\left( { = \angle AHF} \right).\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta CHD\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle ADB = \angle HDC = {90^0}\\\angle ABD = \angle DHC\;\;\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta CHD\;\;\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{DB}}{{DH}} = \frac{{DA}}{{DC}} \Leftrightarrow DB.DC = DA.DH.\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\) 

c) Gọi \(K\) là giao điểm khác \(A\) của hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( I \right).\) Chứng minh \(OI//HK.\)

Ta có:

\(A;K \in \left( I \right) \Rightarrow IA = IK \Rightarrow I\)  thuộc trung trực của AK;

 \(A;K \in \left( O \right) \Rightarrow OA = OK \Rightarrow O\) thuộc trung trực của AK;

\( \Rightarrow OI\) là trung trực của AK \( \Rightarrow OI \bot AK\).

Lại có \(\angle AKH\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( I \right) \Rightarrow \angle AKH = {90^0} \Rightarrow HK \bot AK\).

\( \Rightarrow OI//HK\) (cùng vuông góc với AK) (đpcm).