Cho  tam giác ABC vuông tại A, đ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Chứng minh tứ giác BKHA nội tiếp đường tròn sử dụng định lí: Tứ giác có hai đỉnh cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại với hai góc bằng nhau thì nội tiếp đường tròn.

2) Chứng minh BD vuông góc với OD dựa vào hai tam giác bằng nhau

3) Sử dụng hệ thức lượng và tam giác đồng dạng để chứng minh hai vế của đẳng thức bằng \(B{D^2}\).

4) Sử dụng hệ thức lượng và tam giác đồng dạng để chứng minh \(AM = \frac{1}{4}AC\), từ đó suy ra \(MA = MO\).

Giải chi tiết:

1) Chứng minh bốn điểm B, K, H, A cùng thuộc một đường tròn.

Ta có:  \(\Delta AKC\) thuộc đường tròng \(\left( O \right)\) có đường kính \(AC \Rightarrow \Delta AKC\) vuông tại \(K \Rightarrow \angle BKA = {90^0}.\)

\( \Rightarrow B,\;K,\;A\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BA.\;\;\;\left( 1 \right)\) 

Lại có: \(BO \bot AD = \left\{ H \right\} \Rightarrow \angle BHA = {90^0}\)

\( \Rightarrow B,\;H,\;A\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BA\;\;\;\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(B,H,\;A,\;K\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BA.\)  (đpcm)

2) Chứng minh: BD là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)

Xét tam giác cân OAD  cân tại O (do \(OA = OD = R\)) có: OB vuông góc với AD

Suy ra OB  đồng thời cũng là trung trực của cạnh AD  (tính chất tam giác cân)

Suy ra \(AB = BD\) (tính chất trung trực)

Xét tam giác ABO  và tam giác DBO có:

+) \(AB = BD\) (cmt)

+) \(AO = OD\) (cùng là bán kính của đường tròn)

+)  BO  chung

\( \Rightarrow \Delta ABO = \Delta DBO\left( {c - c - c} \right) \Rightarrow \angle BDO = \angle BAO = {90^o} \Rightarrow BD \bot OD\)

Suy ra BD là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)(đpcm).

3) Chứng minh \(BH.BO = BK.BC\).

Xét tam giác vuông BOD  vuông tại D  có  HD  là đường cao

\( \Rightarrow BH.BO = H{D^2}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)                           (1)

Xét tam giác BDK và tam giác BCD có:

+) \(\angle CBD\) chung

+) \(\angle BDK = \angle BCD\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung DK)

\( \Rightarrow \Delta BDK \sim \Delta BCD\;\;\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{BK}}{{BD}} \Rightarrow BK.BC = B{D^2}\)                                            (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BH.BO = BK.BC\)(đpcm).

4) Từ \(\left( O \right)\)vẽ đường thẳng song song với AD cắt tia BA tại E, từ B vẽ đường thẳng vuông góc với EC tại F, BF cắt AO tại M. Chứng minh: \(MA = MO\)

Xét tam giác BEF và tam giác CEA có:

+) \(\angle ABM = \angle ACE\) (do cùng phụ với \(\angle BEC\))

+) \(\angle CAE = \angle BAM = {90^o}\)

\( \Rightarrow \Delta BAM \sim \Delta CAE\;\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{AM}}{{AE}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AB.AE = AM.AC\)        (3)

Xét tam giác BOE vuông tại O có AO là đường cao\( \Rightarrow AB.AE = A{O^2}\)     (4)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow A{O^2} = AM.AC \Leftrightarrow A{O^2} = 2AO.AM \Leftrightarrow 2AM = AO\)

Mà có \(AM + MO = AO \Rightarrow MO = AO - AM = 2AM - AM = AM\).

Vậy \(AM = MO\) (đpcm)\(\) \(\)