Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi \(\overrightarrow{n}\left( a;b;c \right),\,\left( \overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0} \right)\) là một VTPT của \(\left( \alpha  \right)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Sử dụng các giả thiết \(O\in \left( \alpha  \right);\,\,A\in \left( \alpha  \right);\,\,d\left( B;\left( \alpha  \right) \right)=\sqrt{3}\) lập hệ phương trình tìm a, b, c.

Giải chi tiết:

Gọi \(\overrightarrow{n}\left( a;b;c \right),\,\left( \overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0} \right)\) là một VTPT của \(\left( \alpha  \right)\).

\(O(0;0;0)\in \left( \alpha  \right)\Rightarrow \left( \alpha  \right):ax+by+cz=0\)

\(\begin{align}  A\left( 1;1;0 \right)\in \left( \alpha  \right)\Rightarrow a+b=0\Rightarrow b=-a\Rightarrow \left( \alpha  \right):ax-ay+cz=0 \\d(B;\left( \alpha  \right))=\sqrt{3}\Leftrightarrow \frac{\left| a.0-a.(-1)+2c \right|}{\sqrt{2{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \frac{\left| a+2c\right|}{\sqrt{2{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\sqrt{3} \\  \Leftrightarrow {{(a+2c)}^{2}}=3(2{{a}^{2}}+{{c}^{2}})\Leftrightarrow{{a}^{2}}+4ac+4{{c}^{2}}=6{{a}^{2}}+3{{c}^{2}}\Leftrightarrow 5{{a}^{2}}-4ac-{{c}^{2}}=0 \\ \end{align}\)

Cho \(a=1\Rightarrow {{c}^{2}}+4c-5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  c=1 \\  c=-5 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \overrightarrow{n}\left( 1;-1;1 \right)\)hoặc \(\overrightarrow{n}\left( 1;-1;-5 \right)\).

Chọn: D